%EC%9C%84%EC%83%81%EC%88%98%ED%95%99
-
4차원에서 다른 두 2차원 곡면 발견
우리 대학 수리과학과 박정환 교수가 카일 헤이든(Kyle Hayden) 콜롬비아 대학교 교수, 김승원 서울대학교 연구원, 매기 밀러(Maggie Miller) 스탠포드 대학교 연구원, 아이작 선버그(Isaac Sundberg) 막스플랑크 연구소 연구원과 함께 40년간 해결되지 않았던 위상수학계 난제를 해결했다고 5일 밝혔다.
매듭이란 3차원 공간 안에 원이 꼬여서 들어가 있는 형태를 말한다. 물리적으로는 신발 끈을 복잡하게 묶은 후에 끈의 양 끝을 하나로 붙인 원을 생각하면 된다. 매듭은 1차원적 기하학적 대상이다. 그리하여 모든 매듭은 사이퍼트 곡면이라는 2차원 곡면의 경계가 되는데 하나의 매듭이 여러 개의 서로 다른 사이퍼트 곡면의 경계가 되기도 한다. 많은 경우 위상수학에서는 하나의 차원이 더 해지면 서로 달랐던 기하학적 대상들이 같아지고는 한다. 현재 인디애나 대학교에서 명예교수로 있는 찰스 리빙스턴(Charles Livingston)은 이런 현상이 사이퍼트 곡면에서도 일어날 것이라고 1982년에 추측하였다. 즉, 그는 어떤 매듭의 두 사이퍼트 곡면이 3차원에서는 다르더라도 4차원 공간에서는 항상 같아질 것으로 추측한 것이다. 이 추측의 하나의 배경은 다년간 3차원 공간에서 다르다고 증명되었던 수많은 사이퍼트 곡면들을 많은 수학자가 4차원 공간에서 관찰하였지만, 대부분의 경우 4차원 공간에서는 같아진다는 사실을 증명하였기 때문이다.
박 교수는 동료 연구자와 함께 리빙스턴 추측이 거짓이라는 사실의 증명을 하였다. 이 증명을 포함하고 있는 ‘4차원 공안의 사이퍼트 곡면(Seifert surfaces in the 4-ball)’ 논문을 최근 프리프린트(학술지 출판 전에 사전 공개되는 논문)로 공개했다.
이들은 <그림 1>에서 보이는 두 개의 사이퍼트 곡면을 사용하였다. 이 두 개의 사이퍼트 곡면은 <그림 2>의 닫힌곡면을 두 개로 나누어서 얻어진 것이다. 즉, <그림 2>는 이 두 개의 사이퍼트 곡면이 같은 매듭을 경계로 한다는 사실을 설명해 주고 있다.
이 두 개의 사이퍼트 곡면이 다르다는 사실은 두 가지의 다른 방법을 사용하여 증명하였다. 첫 번째 방법은 위상수학에서 기본적으로 사용되는 피폭 공간이라는 개념을 사용하였다. 두 번째 방법은 존스 다항식(Jones polynomial)을 일반화한 코바노프 호몰로지(Khovanov homology)를 사용하였다. 특히, 위 연구자들은 코바노프 호몰로지를 이용하여 4차원 공간 안의 2차원 곡면들에 관한 다양한 연구를 진행하고 있다. 예를 들어, 이번에 발표한 논문에는 위상적으로는 4차원에서 같아지지만 매끄러운 구조를 유지하면서 같아질 수 없는 두 개의 사이퍼트 곡면의 존재성도 증명하였다. 이는 4차원 공간에서만 일어나는 미묘하고 신비한 현상을 대변한다. 박 교수와 연구자들은 이 논문은 계기로 앞으로 4차원 공간의 2차원 곡면에 대한 더 활발한 연구를 할 수 있을 것으로 기대하고 있다.
2022.07.05 조회수 5028 -
백형렬 교수, 2018 상산젊은수학자 상 수상
〈 백 형 렬 교수 〉
우리 대학 수리과학과 백형렬 교수가 대한수학회가 주관하는 ‘2018년 상산젊은수학자 상’ 수상자로 선정됐다.
시상식은 지난 5일 서울 코엑스에서 대학수학회와 독일수학회가 공동으로 주관하는 국제학술회의에서 열렸다.
상산젊은수학자 상은 박사학위 취득 후 5년 이내의 우수 신진 연구자에게 주어지는 상으로 백 교수는 기하위상수학의 주요 업적들을 바탕으로 향후 해당 분야를 주도할 연구자로 평가받아 수상했다.
백 교수는 저차원 위상수학, 기하위상수학, 기하군론 등의 분야에서 활발히 연구하고 있다. 특히 박사학위 연구로 쌍곡곡면군을 완전히 특정짓는 새 기준을 발견하고 이를 토대로 3차원 쌍곡다양체군의 성질에 대한 추론을 제시했다.
최근에는 미국 캘리포니아 대학교 산타바바라 캠퍼스의 에릭 샘퍼튼(Eric Samperton) 박사와 공동으로 ‘그룹의 불변 원형 순서들로 이뤄진 위상공간(Spaces of invariant circular orders of groups)’이라는 주제의 논문을 발표했다.
이 논문은 2018년 유럽 수학회에서 발간하는 저명한 국제 학술지 ‘그룹, 지오메트리, 다이나믹스(Groups, Geometry, and Dynamics)’에 게재됐다. 이후 군의 원형질서에 대한 많은 연구자들의 후속 연구가 이어져 새 연구 분야를 개척한 것으로 주목받았다.
백 교수는 “이렇게 큰 상을 주셔서 무척 기쁘고 감사하다. 시상식에서 딸에게 자랑스러운 아빠의 모습을 보여줄 수 있어서 행복했다. 기대에 부응해서 앞으로도 좋은 연구로 보답하고 싶다”고 말했다.
2017년부터 수리과학과 교수로 재직 중인 백형렬 교수는 수리과학과 학부를 졸업한 후 미국 코넬 대학교에서 박사학위를 받고, 2년 6개월 동안 독일의 본(Bonn) 대학에서 연구원으로 재직했다.
부임 첫 해인 2017년 포스코 사이언스 펠로우, 삼성미래기술육성재단 연구과제에 선정되는 등 우리나라를 빛낼 젊은 과학자로 주목받고 있다.
2018.10.29 조회수 9020